平方根6【素因数分解】
【RE】
さて、今回は「素因数分解」を学習していきます。
EX)24の約数を全て書き出させます。当然「1・2・3・4・6・8・12・24」と書ける。
かけるで結ばれた各々の数に線を引き「因数」を教える
8の約数…1・2・4・8(約数が4個)
7の約数…1・7(約数が2個)
【ポイント】
・素数…1とその数以外に約数を持たない数=約数が2個だけの数
(これを踏まえて、生徒に1〜50までの数の中で素数を書き出させる)
〈1〜50までの素数〉
2・3・5・7・11・13・17・19・23・29・31・37・41・43・47
→1を書く生徒がいる→1の約数は何個?
→全部で15個あれば正解。どんどん生徒に言わせていく。
①すだれ算(小学校でやったはずだが、やっていない場合は1つ例を出す)
②中学生的な普通のやり方
EX/ 48を素因数分解すると
2) 48 ←適当な素数で割る・商を下に書く
2) 24
3) 8
2) 4
2 ←商が素数になったら終了
よって、
となる
→稀に、×を+と書く輩がいるので注意!
・素因数分解を使う場面
→因数分解(かけて〜、足して〜)をする際、数字が大きい時
→この後の平方根の計算!
→この後の典型問題である数がどんな数でできているか考える時
★累乗の基本
→ 
(実際に計算させてみる)
EX/ 指数で表された次のような数がある。
が成り立つ
実際に計算すると
【EX】
⑵108に出来るだけ小さい自然数をかけてある数の2乗にするにはどんな数をかければいい?
→ある数を
とすると
を作ればいい
※⑴と⑵は、問われ方は異なるがかんがえることは一緒である!
まず、
がどんな数の積で成り立っているのか、素因数分解してみる。
→
だから、今ある数字を分けていくと
🄐セット…
🄑セット…
となり、同じセットにするには🄑セットに
が必要。
→この足りない数が
である。
よって
を掛けてやると、
となる。
ちなみに、一番小さい数は3であるが、その次に小さい数は?と問われたら、
同じセットを2つ作るのだから
が必要。よって
次に小さい数は
だから
となっていく。
②
が整数となるような
をすべて求めよ。
㋐ 分母=
だけだと約分して
が残る→
となる
㋑分子に
を残すと考えると、分母=
となる→
となる
㋒分子に
を残すと考えると、分母=
となる→
となる
㋓最後は約分して1になればいい→
→「整数となる」ではなく「自然数となる」→
は考えないことがわかるか?
よって、
となる
今回はかなり時間がかかると思います。基本的な素因数分解の問題を解いた後、典型的な問題をじっくりと解説した方がいいと思います。策に溺れると何も残らないので、「どうすれば自然数になるのか。同じセットを2つ作るとはどういうことか」という根っこの部分を徹底したいところだと思います。
なお、最小公倍数や最大公約数の求め方、約数の個数の求め方(公式は教えません)も時間があれば教えたいところですが、この段階では教えません。整数の性質も含め、入試問題を解き始める頃に当塾では教えています。