当たり前の努力ができる自分になる!明青学院 塾長ブログ

久喜市で成績アップを目指すならココ!明青学院は中学生対象の高校受験専門塾です。塾での日常の出来事や勉強についてなどを「人に伝える」練習として綴っています。

平方根6【素因数分解】

【RE】
前回の内容は、有理数無理数などの用語だけだったので、口頭での確認程度でいいのではないでしょうか。
 
さて、今回は「素因数分解」を学習していきます。
EX)24の約数を全て書き出させます。当然「1・2・3・4・6・8・12・24」と書ける。
        24=1×24=2×12=3×8=4×6と表せる。
       かけるで結ばれた各々の数に線を引き「因数」を教える
       →ある数を自然数の積の形で表すこと=因数分解→それぞれの数を因数
8の約数…1・2・4・8(約数が4個)
7の約数…1・7(約数が2個)
 
【ポイント】
素数…1とその数以外に約数を持たない数=約数が2個だけの数
(これを踏まえて、生徒に1〜50までの数の中で素数を書き出させる)
  〈1〜50までの素数
     2・3・5・7・11・13・17・19・23・29・31・37・41・43・47
   →1を書く生徒がいる→1の約数は何個?
   →全部で15個あれば正解。どんどん生徒に言わせていく。
 
因数分解自然数を因数の積の形で表すこと
            →素因数分解…全ての因数が素数の時に素因数分解という
 
   素因数分解のやり方→素数で何回も割り算をしていくだけ
①すだれ算(小学校でやったはずだが、やっていない場合は1つ例を出す)
②中学生的な普通のやり方
    EX/ 48を素因数分解すると
          2) 48     ←適当な素数で割る・商を下に書く
          2) 24  
          3)  8
          2)  4 
               2     ←商が素数になったら終了
          
          よって、48=2×2×2×2×3=2^4×3となる
                        →稀に、×を+と書く輩がいるので注意!
 
   ・素因数分解を使う場面
  →因数分解(かけて〜、足して〜)をする際、数字が大きい時
      →この後の平方根の計算!
  →この後の典型問題である数がどんな数でできているか考える時
 
 ★累乗の基本
      → □^2×◯^2×△^2=(□×○×△)^2
 (実際に計算させてみる)
  EX/ 指数で表された次のような数がある。
   2^2×3^2×10^2
   =2×2×3×3×10×10    ←指数を使わずに表す
         =(2×3×10)^2       ←かけ算は順序を入れ替えても一緒
   が成り立つ
         実際に計算すると
         2^2×3^2×10^2=6×10=3600
         (2×3×10)^2=60^2=3600     →実際に成り立つでしょ!
 
【EX】
①⑴ √108n自然数になるようなnのうち、もっとも小さい数はいくつ?
         →√□^2=□だから、自然数にするためには108×n=□^2になればいい
    ⑵108に出来るだけ小さい自然数をかけてある数の2乗にするにはどんな数をかければいい?
       →ある数をnとすると108×n=□^2を作ればいい
 
※⑴と⑵は、問われ方は異なるがかんがえることは一緒である!
   □^2にするには、同じセットを2つ作ればいい!(累乗の基本で考えさせるとパターンにはめ込むだけの生徒が続出する)
 
  まず、108がどんな数の積で成り立っているのか、素因数分解してみる。
   →108=2^2×3^2だから、今ある数字を分けていくと
    🄐セット…2×3×3
    🄑セット…2×3    
    となり、同じセットにするには🄑セットに×3が必要。
     →この足りない数がnである。
    よってn=3を掛けてやると、(2×3×3)^2=18^2となる。
 
  ちなみに、一番小さい数は3であるが、その次に小さい数は?と問われたら、
  同じセットを2つ作るのだから×2^2が必要。よってn=3×2^2=12
  次に小さい数は×3^2だからn=3×3^2=27となっていく。
 
√\dfrac{360}{n}が整数となるようなnをすべて求めよ。
 \dfrac{360}{n}=□^2なれば√が取れて整数になる。同じセットを2つ作るという考え方はまったく同じであるが、今回は約分して分子に□^2を残していく部分が異なる。
 
 360=2^3×3^2×5、3乗は必要ないので2^2×2×3^2×5が分子だと考える。
 □^2を分子に残すには、分母に約分するための2×5が絶対必要!
 ㋐ 分母=2×5だけだと約分して2^2×3^2が残る→n=2×5=10となる
 ㋑分子に2^2を残すと考えると、分母=2×5×3^2となる→n=90となる
   ㋒分子に3^2を残すと考えると、分母=2×5×2^2となる→n=40となる
   ㋓最後は約分して1になればいい→n=2^3×3^2×5
 
√14-a自然数となるような自然数aの値を求めよ。
 →「整数となる」ではなく「自然数となる」→√0=0は考えないことがわかるか?
 
 √14-a=√□^2=□ だから、14より小さい数で□^2になる数(平方数)を考えればいい。
 14-a=9のときa=5
 14-a=4のときa=10
 14-a=1のときa=13
よって、a=5,10,13となる
 
今回はかなり時間がかかると思います。基本的な素因数分解の問題を解いた後、典型的な問題をじっくりと解説した方がいいと思います。策に溺れると何も残らないので、「どうすれば自然数になるのか。同じセットを2つ作るとはどういうことか」という根っこの部分を徹底したいところだと思います。
 
なお、最小公倍数や最大公約数の求め方、約数の個数の求め方(公式は教えません)も時間があれば教えたいところですが、この段階では教えません。整数の性質も含め、入試問題を解き始める頃に当塾では教えています。