当たり前の努力ができる自分になる！明青学院　塾長ブログ

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平方根6【素因数分解】

中3数学

meisei-gakuin.hatenablog.com

【RE】

前回の内容は、有理数・無理数などの用語だけだったので、口頭での確認程度でいいのではないでしょうか。

さて、今回は「素因数分解」を学習していきます。

EX）24の約数を全て書き出させます。当然「1・2・3・4・6・8・12・24」と書ける。

$24=1×24=2×12=3×8=4×6$ と表せる。

かけるで結ばれた各々の数に線を引き「因数」を教える

→ある数を自然数の積の形で表すこと＝因数分解→それぞれの数を因数

8の約数…1・2・4・8（約数が4個）

7の約数…1・7（約数が2個）

【ポイント】

・素数…1とその数以外に約数を持たない数＝約数が2個だけの数

（これを踏まえて、生徒に1〜50までの数の中で素数を書き出させる）

〈1〜50までの素数〉

2・3・5・7・11・13・17・19・23・29・31・37・41・43・47

→1を書く生徒がいる→1の約数は何個？

→全部で15個あれば正解。どんどん生徒に言わせていく。

・因数分解…自然数を因数の積の形で表すこと

→素因数分解…全ての因数が素数の時に素因数分解という

素因数分解のやり方→素数で何回も割り算をしていくだけ

①すだれ算（小学校でやったはずだが、やっていない場合は1つ例を出す）

②中学生的な普通のやり方

EX/ 48を素因数分解すると

2) 48 ←適当な素数で割る・商を下に書く

2) 24

3) 8

2) 4

2 ←商が素数になったら終了

よって、 $48=2×2×2×2×3=2^4×3$ となる

→稀に、×を＋と書く輩がいるので注意！

・素因数分解を使う場面

　　→因数分解（かけて〜、足して〜）をする際、数字が大きい時

→この後の平方根の計算！

　　→この後の典型問題である数がどんな数でできているか考える時

　★累乗の基本

→ $□^2×◯^2×△^2=(□×○×△)^2$

　（実際に計算させてみる）

EX/ 指数で表された次のような数がある。

　　　 $2^2×3^2×10^2$

　　　 $=2×2×3×3×10×10$ ←指数を使わずに表す

$=(2×3×10)^2$ ←かけ算は順序を入れ替えても一緒

　　　が成り立つ

実際に計算すると

$2^2×3^2×10^2=6×10=3600$

$(2×3×10)^2=60^2=3600$ →実際に成り立つでしょ！

【EX】

①⑴ $√108n$ が自然数になるような $n$ のうち、もっとも小さい数はいくつ？

→ $√□^2=□$ だから、自然数にするためには $108×n=□^2$ になればいい

⑵108に出来るだけ小さい自然数をかけてある数の2乗にするにはどんな数をかければいい？

→ある数を $n$ とすると $108×n=□^2$ を作ればいい

※⑴と⑵は、問われ方は異なるがかんがえることは一緒である！

$□^2$ にするには、同じセットを2つ作ればいい！（累乗の基本で考えさせるとパターンにはめ込むだけの生徒が続出する）

　　まず、 $108$ がどんな数の積で成り立っているのか、素因数分解してみる。

　　　→ $108=2^2×3^2$ だから、今ある数字を分けていくと

　　　　🄐セット… $2×3×3$

　　　　🄑セット… $2×3$

　　　　となり、同じセットにするには🄑セットに $×3$ が必要。

　　　　　→この足りない数が $n$ である。

　　　　よって $n=3$ を掛けてやると、 $(2×3×3)^2=18^2$ となる。

　　ちなみに、一番小さい数は3であるが、その次に小さい数は？と問われたら、

　　同じセットを2つ作るのだから $×2^2$ が必要。よって $n=3×2^2=12$

　　次に小さい数は $×3^2$ だから $n=3×3^2=27$ となっていく。

② $√\dfrac{360}{n}$ が整数となるような $n$ をすべて求めよ。

　 $\dfrac{360}{n}=□^2$ なれば $√$ が取れて整数になる。同じセットを2つ作るという考え方はまったく同じであるが、今回は約分して分子に $□^2$ を残していく部分が異なる。

　 $360=2^3×3^2×5$ 、3乗は必要ないので $2^2×2×3^2×5$ が分子だと考える。

　 $□^2$ を分子に残すには、分母に約分するための $2×5$ が絶対必要！

　㋐分母= $2×5$ だけだと約分して $2^2×3^2$ が残る→ $n=2×5=10$ となる

　㋑分子に $2^2$ を残すと考えると、分母= $2×5×3^2$ となる→ $n=90$ となる

㋒分子に $3^2$ を残すと考えると、分母= $2×5×2^2$ となる→ $n=40$ となる

㋓最後は約分して1になればいい→ $n=2^3×3^2×5$

③ $√14-a$ が自然数となるような自然数 $a$ の値を求めよ。

　→「整数となる」ではなく「自然数となる」→ $√0=0$ は考えないことがわかるか？

　

　 $√14-a=√□^2=□$ だから、14より小さい数で $□^2$ になる数（平方数）を考えればいい。

　 $14-a=9$ のとき $a=5$

　 $14-a=4$ のとき $a=10$

　 $14-a=1$ のとき $a=13$

よって、 $a=5,10,13$ となる

今回はかなり時間がかかると思います。基本的な素因数分解の問題を解いた後、典型的な問題をじっくりと解説した方がいいと思います。策に溺れると何も残らないので、「どうすれば自然数になるのか。同じセットを2つ作るとはどういうことか」という根っこの部分を徹底したいところだと思います。

なお、最小公倍数や最大公約数の求め方、約数の個数の求め方（公式は教えません）も時間があれば教えたいところですが、この段階では教えません。整数の性質も含め、入試問題を解き始める頃に当塾では教えています。

　