当たり前の努力ができる自分になる！明青学院　塾長ブログ

久喜市で成績アップを目指すならココ！明青学院は中学生対象の高校受験専門塾です。塾での日常の出来事や勉強についてなどを「人に伝える」練習として綴っています。

2次方程式5【解の公式】

中3数学

【RE】

平方完成を使った問題を2問やらせる。

① $x^2+6x-1=0$

→因数分解できませんよねえ。じゃあ、どうするの？

$x^2+6x =1$

$x^2+6x+3^2=1+3^2$

$(x+3)^2=10$

$x+3=±√10$

$x=-3±√10$

② $2x^2-7x+4=0$

→因数分解できませんよねえ。じゃあ、どうするの？

$x^2-\dfrac{7}{2}x+2=0$

$x^2-\dfrac{7}{2}x+(\dfrac{7}{4})^2=-2+(\dfrac{7}{4})^2$

$(x-\dfrac{7}{4})^2=\dfrac{17}{16}$

$x-\dfrac{7}{4}=±\dfrac{√17}{√16}=±\dfrac{√17}{4}$

$x=\dfrac{7}{4}±\dfrac{√17}{4}$

または

$x=\dfrac{7±√17}{4}$

→分数が出てくると面倒ですなあ。なんかないですか？

→あるんです！どんな2次方程式でも解ける魔法の公式が！！

【ポイント】

《解の公式》を導き出してみる！

→【RE】②の問題を文字で表していくだけ。因みにこの説明、公立入試に出たよ！

$ax^2+bx+c=0$ → 平方完成させていく

$x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0$ ← $x^2$ の係数で割る

$x^2+\dfrac{b}{a}x+(\dfrac{b}{2a})^2=-\dfrac{c}{a}+(\dfrac{b}{2a})^2$ ← $x$ の係数の半分の2乗を両辺に足す（分母が $2a$ とサクッと出てくる生徒は少ない）

$(x+\dfrac{b}{2a})^2=-\dfrac{c}{a}+\dfrac{b^2}{4a^2}$ ← 平方完成

$(x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{-4ac+b^2}{4a^2}$ ← 通分

$x+\dfrac{b}{2a}=±\dfrac{√-4ac+b^2}{√4a^2}=±\dfrac{√b^2-4ac}{2a}$ ← 平方根の考え方で解く

$x=-\dfrac{b}{2a}±\dfrac{√b^2-4ac}{2a}$

$x=\dfrac{-b±√b^2-4ac}{2a}$ ← 分母を1つにする

2次方程式の最終手段《解の公式》に当てはめて計算すれば、すべての2次方程式は解ける！

◎ $b=$ 偶数の時は、必ず約分できる！

◎ $√$ の中が、マイナスになったらアウト！

※10回ほど口に出して＆書いて覚える

【EX】

$2x^2-4x-5=0$

→ $a=2$ 、 $b=-4$ 、 $c=-5$

$x=\dfrac{-(-4)±√(-4)^2-4\times 2\times (-5)}{2\times2}$

$x=\dfrac{4±√56}{4}=\dfrac{4±2√14}{4}$

$x=\dfrac{2±√14}{2}$ → $b=$ 偶数の時は約分！この約分ができない人は危ないぞ！

（ $x=1±\dfrac{√14}{2}$ ）

以上で3年間の計算は全部終了！入試問題に取りかかれます。

※入試においては「計算問題はできて当たり前！」です。この意識を持って、問題を解くことを徹底していきましょう。