当たり前の努力ができる自分になる！明青学院　塾長ブログ

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2次方程式6【解・数の大小・花壇】

中3数学

今回から2次方程式の文章題に入る訳だが、特に新しいことを学習するわけではなく、「文章のとおりに立式したら、たまたま2次方程式になった」というだけであることを分からせる。

→時々、「この文章題は連立で解くんですか？2次方程式で解くんですか？」と訳のわからないことを聞いてくる生徒がいる。

→この手の生徒は、パターンとして丸暗記しようとするので要注意。

文章題は、典型的な問題を1問ずつ解いていくだけなので、【RE】【ポイント】は特にありません。授業は問題を与えて解かせてから解説していく形になります。進まない生徒には個別に教えるのではなく、全体としてヒントを与えていく形にした方が、考えてくれるのではないかと思います。

【EX①】《解が与えられている問題》

Q： $x^2+my+n=0$ の解が $5$ 、 $-2$ である時、 $m$ 、 $n$ の値を求めよ。

→どーやって解く？解が与えれている以上代入するしかないんじゃない？

$25+5m+n=0$ …①

$4-2m+n=0$ …② ①②の2式を連立させて解く！

→（こんな風に考えられればベスト）2次方程式の解が整数でてている → 解を出す1行上は、因数分解できている！

解が　 $x=5$ 、 $-2$

1行上の式は　 $(x-5)(x+2)=0$ ↓ 2次方程式を逆に解く！

じゃあ問題は　 $x^2-3x-10=0$

→よって、 $m=-3$ 、 $n=-10$ となる

【EX②】《数の大小の問題》

Q：連続する2つの自然数があり、その2乗の和は85である。2つの自然数を求めよ。

→設定をどうするか？ですねえ。2つの数＝大 $x$ ・小 $y$ と刷り込まれている生徒もいるので、そのまま立式させてみましょう。

$x-y=1$ …①

$x^2+y^2=85$ …②

①②は立つと思うが、連立させて解けるかでしょう。

①を変形 → $x=y+1$ →これを②に代入すると

$(y+1)^2+y^2=85$

$y^2+2y+1+y^2-85=0$

$2y^2+2y-84=0$

$y^2+y-42=0$

$(y+7)(y-6)=0$

$y=-7$ 、 $6$

→ 2次方程式の解は2つある！ → 文意にあっているか否かを確認して解答する

→自然数とあるので $y=-7$ は適さない。よって $y=6$ となり、2つの数は $6$ 、 $7$ となる。

あるいは②を変形すると

$(x-y)^2+2xy=85$

①を代入して $1^2+2xy=85$ → $xy=42$ …③

①と③より、かけて42で差が1の2数は6・7と導き出せる。

こんな考え方でもOK！

一番楽に計算できる設定は小 $n$ 、大 $n+1$ として

$n^2+(n+1)^2=85$ を解く。

どれで解いても問題ないが、「2次方程式を解いて、解＝文章題の答えではない」ことを徹底することがポイントです。

【EX③】《花壇の問題》

Q： $7m \times 5m$ の土地に道を作り、残りを花壇とする。花壇の面積を $24cm^2$ にするには、道の幅を何mにすればいいか。

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→道を移動して考えるのが王道ですが、道の重なりを考えて立式しても良い。

→楽に解ける考え方を押さえる方がいいが、それが全てではないことを分からせたい。

→道を移動すると、縦 $7-x$ 、横 $5-x$ となり

$(7-x)(5-x)=24$ これを解くと $x=1$ 、 $11$ となる。

道幅は5mよりも小さくなければならないので、 $x=7$ は適さない。よって $1m$ が答えになる。

→道を移動しないと、全体の面積 $=7 \times 5=35m^2$ となる。

道の面積は $7xm^2$ 、 $5xm^2$ で2つの道の重なりは $x^2m^2$ となる。

よって $35-7x-5x+x^2=24$ が成り立つ。これを解いてもOK！

数学は王道を押さえてから我流を考えていく方がいい。王道の考え方を知らずに我流のみになってしまうと、入試問題において「問題の流れ」がつかめず苦労することが多いです。