当たり前の努力ができる自分になる!明青学院 塾長ブログ

久喜市で成績アップを目指すならココ!明青学院は中学生対象の高校受験専門塾です。塾での日常の出来事や勉強についてなどを「人に伝える」練習として綴っています。

2次方程式6【解・数の大小・花壇】

今回から2次方程式の文章題に入る訳だが、特に新しいことを学習するわけではなく、「文章のとおりに立式したら、たまたま2次方程式になった」というだけであることを分からせる。
 
→時々、「この文章題は連立で解くんですか?2次方程式で解くんですか?」と訳のわからないことを聞いてくる生徒がいる。
    →この手の生徒は、パターンとして丸暗記しようとするので要注意。
 
文章題は、典型的な問題を1問ずつ解いていくだけなので、【RE】【ポイント】は特にありません。授業は問題を与えて解かせてから解説していく形になります。進まない生徒には個別に教えるのではなく、全体としてヒントを与えていく形にした方が、考えてくれるのではないかと思います。
 
【EX①】《解が与えられている問題》
Q:x^2+my+n=0の解が5-2である時、mnの値を求めよ。
→どーやって解く?  解が与えれている以上代入するしかないんじゃない?
25+5m+n=0…①
4-2m+n=0…②      ①②の2式を連立させて解く!
 
→(こんな風に考えられればベスト)2次方程式の解が整数でてている → 解を出す1行上は、因数分解できている!
解が x=5-2
1行上の式は (x-5)(x+2)=0     ↓ 2次方程式を逆に解く!
じゃあ問題は x^2-3x-10=0
→よって、m=-3n=-10となる
 
【EX②】《数の大小の問題》
Q:連続する2つの自然数があり、その2乗の和は85である。2つの自然数を求めよ。
→設定をどうするか?ですねえ。2つの数=大x・小yと刷り込まれている生徒もいるので、そのまま立式させてみましょう。
x-y=1…①
x^2+y^2=85…②
①②は立つと思うが、連立させて解けるかでしょう。
①を変形 → x=y+1  →これを②に代入すると
(y+1)^2+y^2=85
y^2+2y+1+y^2-85=0
2y^2+2y-84=0
y^2+y-42=0
(y+7)(y-6)=0
y=-76   
2次方程式の解は2つある!  → 文意にあっているか否かを確認して解答する
    →自然数とあるのでy=-7は適さない。よってy=6となり、2つの数は67となる。
 
あるいは②を変形すると
(x-y)^2+2xy=85
①を代入して1^2+2xy=85   →  xy=42…③
①と③より、かけて42で差が1の2数は6・7と導き出せる。
こんな考え方でもOK!
 
一番楽に計算できる設定は小n、大n+1として
n^2+(n+1)^2=85を解く。
 
どれで解いても問題ないが、「2次方程式を解いて、解=文章題の答えではない」ことを徹底することがポイントです。
 
 
【EX③】《花壇の問題》
Q:7m \times 5mの土地に道を作り、残りを花壇とする。花壇の面積を24cm^2にするには、道の幅を何mにすればいいか。
 

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→道を移動して考えるのが王道ですが、道の重なりを考えて立式しても良い。
    →楽に解ける考え方を押さえる方がいいが、それが全てではないことを分からせたい。
 
→道を移動すると、縦7-x、横5-xとなり
(7-x)(5-x)=24  これを解くと x=111となる。
道幅は5mよりも小さくなければならないので、x=7は適さない。よって1mが答えになる。
 
→道を移動しないと、全体の面積=7 \times 5=35m^2となる。
道の面積は7xm^25xm^2で2つの道の重なりはx^2m^2となる。
よって35-7x-5x+x^2=24が成り立つ。これを解いてもOK!
 
数学は王道を押さえてから我流を考えていく方がいい。王道の考え方を知らずに我流のみになってしまうと、入試問題において「問題の流れ」がつかめず苦労することが多いです。