当たり前の努力ができる自分になる！明青学院　塾長ブログ

久喜市で成績アップを目指すならココ！明青学院は中学生対象の高校受験専門塾です。塾での日常の出来事や勉強についてなどを「人に伝える」練習として綴っています。

2次方程式7【箱・動点】

中3数学

【EX④】《箱を作る問題》

Q：下の長方形の解身を切り取って、底面積が $32cm^2$ のフタのついた箱を作りたい。箱の高さを何㎝にすればよいか。

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→最近の中学生は、贈答品の和菓子の箱を潰したことがないのか、どこが高さになるのかがわからない子が結構いる。自宅にて実際にやらせるしか理屈がわかる方法はないかな。

高さを $x$ ㎝として、各々の長さを表すことができれば終了なので、しっかり考えさせたい。ただし、イメージが全く湧かない生徒に教えるのは難しい。

縦が12㎝ → 底面の縦の長さ+高さ2つ分

横が24㎝ → 半分の12㎝で、底面の横の長さ+高さ1つ分

→図の中に等しい長さをチェックして、長さを書き込みます。

あとは立式だけなので簡単でしょう。

$(12-2x)(12-x)=32$

$144-36x+2x^2-32=0$

$2x^2-36x+112=0$

$x^2-18x+56=0$

$(x-4)(x-14)=0$

$x=4$ 、 $14$

よって、 $4㎝$ が導き出せる。

※文章題は文意を理解して立式するまでが勝負なのだが、生徒によっては立式までを教わっておいて、計算だけ自分でやってできたつもりになっている輩もいるので、要注意！

※また、丸暗記しようとする生徒も出てくるので、ここの長さはなぜその式で表せるのかを問答しながらやった方がいいでしょう。

【EX⑤】《動点》

Q：直角二等辺三角形ABCで、PはAを出発してBまで進みます。QはCを出発してPと同じ速さでBまで進みます。点PがAから何㎝動いた時、台形APQCの面積が28㎠になるか。

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→動点の問題は、長さの表し方の勝負です。基本的に生徒は時間の経過とともに増えていく長さは表せますが、「時間の経過とともに短くなっていく長さ（全体の長さ-進んだ長さ）」を表すのが苦手です。特に一直線上ではなく、角を通過した場合の残りの長さはイメージのない生徒が理解するのは大変ですが、直線に書き直し進んだ長さ・残りの長さを文字で表す練習をさせていくしかないでしょう。

→ ① $AP=xcm$ とすると、同じ速さで進むのだから $CQ=xcm$ となる

→よって $PB=QB=8-xcm$ となる

→②台形 $AOQC=28cm^2$ ということは、三角形 $PQB=8 \times8 \times \dfrac{1}{2}-28=4cm^2$ になる。

よって

$\dfrac{1}{2}(8-x)^2=4$

$(8-x)^2=8$

$8-x=±2√2$

$-x=-8±2√2$

$x=8±2√2$

$x \lt 8$ だから

$x=8-2\sqrt{2}$ となる

※今回のEXのような動点の問題（長さをそのまま文字で表す問題）は、基本的には出ない。「速さと秒数」で長さを表す問題が一般的なので、類似問題をたくさん解いて表し方を練習させておきましょう。関数の問題でも出題されますので。