当たり前の努力ができる自分になる!明青学院 塾長ブログ

久喜市で成績アップを目指すならココ!明青学院は中学生対象の高校受験専門塾です。塾での日常の出来事や勉強についてなどを「人に伝える」練習として綴っています。

2次関数6【放物線と直線①】

いよいよ入試直結の内容に入っていきます。ここからは2次関数の基礎知識を深く理解した上で、考える順序(いわゆる解法)が必要になってきます。
初見の入試問題では、全問を解くのはかなり厳しいでしょうが、典型問題をどのように活用していくか?で、殆どの問題は解けると思いますので、典型問題のEXをたくさんやって考える順序を覚えていってほしいと思います。
 
【RE】
y=x+4y=-\dfrac{1}{2}x+8 の交点の座標を求めよ。
(このレベルがスムーズにできないとこれから学習する内容は厳しい)
   → 受け手の意識をどれだけ上げていけるか?1回しか説明しないのでそれでどれだけ吸収できるかの勝負であることを認識させたい。
 
(グラフは省略しますが、生徒たちには書かせましょう)
→「交点の座標は、連立方程式の解」である!という基礎知識を確認。
よってx+4=-\dfrac{1}{2}x+8
2x+8=-x+16
3x=8
x=\dfrac{8}{3}
y=\dfrac{8}{3}+4=\dfrac{20}{3}
したがって
 ( \dfrac{8}{3},  \dfrac{20}{3})となる
 
【ポイント】
☆放物線と直線との交点の座標も、2つの式を連立させた解である。
    →2次方程式の解は2つ!
        →「どちらのx 座標か」をグラフで判断する。
 
《基礎知識》
座標から長さを求める → 《座標【大】ー座標【小】》
    (座標が数値であれば長さを求めるのに苦労はしないが、座標が文字で表してあると長さを表すのが極端にできなくなる → 数値でしっかり確認させて納得させる)
 
・2点間の中点の座標x 座標の和/2 ,y 座標の和/2)
    (もちろん長さを考えて、座標に足したり座標から引いたりするのが理解を深めるためにはいいと思います。それができる生徒はそれを続けていってOK。)
 
・ある直線と《平行》な直線 → 《傾きが等しい》
 
・平行四辺形の座標は、平行な2辺の傾きの三角形で求めることが多い。
 
・2つの直線が《垂直に交わる》 → お互いの《傾きの積が -1 になる》
 
・《面積》について
     → 「面積が出るなら出す!」が基本 = ①公式通り ②分割する ③全体から不要部分を抜く
           (垂直と判断できないならば、長さとして扱ってはいけない)
    →底辺と垂直だと判断できないのに、勝手に高さだと判断してしまう生徒がいる。
     
     → 面積を二等分する直線
(実際に書かせてから清書する。三角形は書ける。平行四辺形は面積を2等分する直線を5本書かせると対角線の交点が出てくる)
 

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          ①三角形/対辺の中点を通る直線
          ②平行四辺形(以上の四角形)/ 対角線の交点(=中点)を通る直線
          ③その他/分割して考える
 
     →等積変形(平行というキーワードがあるか)

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以上は、今までに学習した内容ですが、今後、相似や三平方の定理を使った問題も出てくる(というか、純粋な関数の問題は稀)。入試では関数の問題は基本的には図形の問題と考えた方がいい問題のほうが多い。
 
【EX①】
放物線y=\dfrac{1}{2}x^2 と直線 y=x+4 が下のグラフのように交わっている。交点をA・Bとした時の、各々の座標を求めよ。

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→A・Bは放物線と直線の交点である
→だから、y=\dfrac{1}{2}x^2y=x+4 を連立させる
\dfrac{1}{2}x^2=x+4
x^2=2x+8
x^2-2x-8=0
(x-4)(x+2)=0
x=4 , -2
x 座標を数値を考えてグラフに記入)
   →y座標は、放物線に代入しても、直線に代入しても求められる。