当たり前の努力ができる自分になる!明青学院 塾長ブログ

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2次関数 8【放物線と直線③】

ここでの問題も、超典型的な問題ですので、公立入試に出題されることはないでしょうが、中堅レベルの私立入試では時々見かけることもあります。
 
 
【EX③】
Q:下のグラフのように放物線上に4点A・B・C・Dをとる。四角形ABCDが正方形になる時、点Aの座標を求めよ。
(グラフは説明用に全てを記入した後のものです)
 

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→何も求められるものがない‼️
 
→四角形ABCDが正方形になる
    →2次関数のグラフの特徴から考えること → AB=CD、AD=BC(つまり長方形ができる)
    →《隣り合う2辺の長さが等しい!》ならば、正方形になる。
    つまり、AB=ADならば正方形になる‼️
 
→「点A座標を求めよ」から「座標を文字でおく」問題であると考えられるか?
     (だって、文字でおかないと全く先に進みませんからねえ)
 
点Aのx 座標をt とすると、y 座標は放物線に代入して \dfrac{1}{2}t^2
(A(t , \dfrac{1}{2}t^2) を記入)
点Bのx 座標は対称なので-ty 座標は 点Aと同じ\dfrac{1}{2}t^2
(B(-t , \dfrac{1}{2}t^2) を記入)
点Dのx 座標は点Aと同じty 座標は放物線に代入して-\dfrac{1}{4}t^2
(D(t , -\dfrac{1}{4}t^2) を記入)
 
《座標から長さを表す時は、座標【大】ー座標【小】だから》
AB=点Aのx 座標ー点Bの x 座標
よって
AB=t-(-t)=2t   ←図のようにグラフの特性で長さを求めてもよし!
 AD=\dfrac{1}{2}t^2-(-\dfrac{1}{4}t^2)=\dfrac{3}{4}t^2
 
したがって
\dfrac{3}{4}t^2=2t
3t^2=8t
3t^2-8t=0
t(3t-8)=0
t=0 , \dfrac{8}{3}
 
t≠0 なので、A( \dfrac{8}{3} , \dfrac{32}{9} ) となる ← 代入した計算省略